Πώς να συγκρατήσετε μόνοι σας ολόκληρο πλοίο

«… Το χοντρό σκοινί, άρχισε να ξετυλίγεται λίγο – λίγο, ενώ ο άνθρωπος με κίνδυνο να παρασυρθεί και να κομματιαστεί, το βαστούσε σφιχτά κι΄ αντιστεκόταν με υπεράνθρωπη δύναμη. Αυτό βάστηξε δέκα δευτερόλεπτα. Άξαφνα, το παλαμάρι έσπασε. Όμως, τα δέκα δευτερόλεπτα που κράτησε η επέμβαση του ανθρώπου ήταν αρκετά … » (Ιούλιος Βερν – Ο Κόμης Ματίας Σαντόρφ)

Πιθανόν όλοι γνωρίζουν ότι μόλις ένα πλοίο πλευρίζει στην αποβάθρα, οι ναύτες πετούν ένα καραβόσκοινο με θηλιά στην άκρη, που το ονομάζουν κάβο, ώστε κάποιος πάνω στην αποβάθρα να το περάσει σ’ ένα πακτωμένο, στιβαρό στήριγμα, μια δέστρα, η οποία στη γλώσσα των ναυτικών λέγεται μπίντα (τη διαδικασία αυτή χάζευαν όσοι επιβάτες ταξίδευαν κατάστρωμα στα παλιά ανοιχτά πλοία). Πριν το πλοίο αρχίσει να παρασύρεται από το νερό και να απομακρύνεται από την αποβάθρα, αλλά μερικές φορές αφού κάτι τέτοιο έχει ήδη αρχίσει, ένας ναύτης τυλίγει γρήγορα σε σχήμα 8 την άλλη άκρη του καραβόσκοινου σ’ ένα διπλό στήριγμα του καταστρώματος, το οποίο ονομάζεται επίσης μπίντα. Με τον τρόπο αυτό, κατορθώνει να ακινητοποιήσει το πλοίο.

Πως τα καταφέρνει ο ναύτης; Είναι προικισμένος με υπεράνθρωπη δύναμη;

Πολλοί άνθρωποι, συμπεριλαμβανομένου του Ιουλίου Βερν, έτειναν να καταλήξουν σ’ αυτό ακριβώς το συμπέρασμα. Ο Βερν, λοιπόν, στο βιβλίο του «Mathias Sandorf» διηγείται ένα επεισόδιο στο οποίο ο δυνατός άνδρας και αθλητής Matifou επιτέλεσε ένα καταπληκτικό κατόρθωμα.

Καθώς το Τραμπάκολο ένα νέο σκάφος, καθελκυόταν με την πρύμνη μπροστά, ο ήρωάς μας απέτρεψε την σύγκρουσή του με ένα μικρό σκάφος – το οποίο σε αντίθεση περίπτωση, θα είχε καταστραφεί:
«…Το Τραμπάκολο γλιστρούσε γρήγορα προς τα κάτω. Ένα σύννεφο λευκού καπνού στροβιλιζόταν γύρω από την πλώρη καθώς τριβόταν με τα ξύλα της ράμπας ενώ η πρύμνη του ήδη είχε βουτήξει στα νερά του κόλπου.
Απροσδόκητα ένας άνθρωπος εμφανίζεται αρπάζει τον κάβο που κρεμόταν από την πλώρη του Τραμπάκολο, και αγωνίζεται να σταματήσει το πλοίο. Στη στιγμή τυλίγει τον κάβο γύρω από έναν μεταλλικό στύλο στερεωμένο στο έδαφος, μια μπίντα, και – αν και ο ίδιος κινδύνευε να συντριβεί – κρατά με υπεράνθρωπη δύναμη τον κάβο στα χέρια του για 10 ολόκληρα δευτερόλεπτα…» (Μετάφραση Γ. Δεληγιάνη, Εκδόσεις Αστήρ, Αθήνα, 1969)

Ο Ιούλιος Βερν είχε δίκιο να δίνει έμφαση στο ρόλο που έπαιξε η τριβή καθώς το πλοίο γλιστρούσε στη ράμπα – και τον καπνό που προκάλεσε. Υπoτίμησε όμως το ρόλο κάποιας άλλης τριβής (και έτσι υπερεκτίμησε τον ρόλο του Ματιφού) κατά την περιγραφή των κατορθωμάτων του αθλητή.
Ας προσπαθήσουμε να καταλάβουμε τι δύναμη χρειάζεται για να κρατήσουμε τον κάβο τυλιγμένο στην μπίντα.
Κατ’ αρχάς θα αμελήσουμε την τριβή και θα θεωρήσουμε ένα ακίνητο τμήμα του σκοινιού, καμπυλωμένο από το υποστήριγμα κατά μικρή γωνία Δα (Σχήμα 1)




Ας υποθέσουμε ότι η τάση ότι η τάση του σκοινιού είναι Τ και ότι το υποστήριγμά του ασκεί κάθετη δύναμη Ν. Εφόσον το τμήμα του σκοινιού βρίσκεται σε ισορροπία, η συνισταμένη των δυνάμεων πρέπει να ισούται με μηδέν. Για μικρές γωνίες, το διανυσματικό διάγραμμα στο σχήμα 1 δείχνει ότι

Ν ≡ Τ Δα

(εδώ χρησιμοποιούμε το γεγονός ότι για μικρές γωνίες ισχύει ημΔα~Δα).
Όταν υπάρχει τριβή, το σχοινί μπορεί να παραμείνει ακίνητο ακόμη και αν οι δυνάμεις τάσης δεξιά και αριστερά του τμήματος διαφέρουν ελαφρά.
Το σχοινί αρχίζει να γλιστρά όταν η διαφορά μεταξύ αυτών των δυνάμεων φτάσει τη μέγιστη τιμή της στατικής τριβής:

ΔΤ = F_Τρ = μ Ν = μ Τ Δα

όπου μ είναι ο συντελεστής τριβής μεταξύ του σκοινιού και του υποστηρίγματος.
Από την τελευταία εξίσωση έπεται ότι η μεταβολή της τάσης ως προς τη γωνία περιέλιξης είναι ανάλογη με την τάση:

ΔΤ/Δα ~ Τ ή ΔΤ/Δα ≡ −μ Τ

Εδώ το αρνητικό πρόσημο υποδηλώνει ότι η τάση μειώνεται καθώς αυξάνει η γωνία περιέλιξης.
Υπάρχουν πολλά φαινόμενα στη φυσική κατά τα οποία ο ρυθμός μεταβολής κάποιας ποσότητας είναι ανάλογος της ίδιας της ποσότητας.
Για παράδειγμα, σκεφτείτε τη ραδιενέργεια: η μείωση του αριθμού των ραδιενεργών πυρήνων ανά μονάδα χρόνου είναι ανάλογη του πλήθους τους Ν [ΔΝ/Δt = −λΝ)]
Άλλο παράδειγμα είναι εκφόρτιση ενός πυκνωτή: Η μείωση του φορτίου του πυκνωτή είναι ανάλογη του ρεύματος που διαρρέει την αντίσταση, το οποίο με τη σειρά του είναι ανάλογο του φορτίου που φέρει ο πυκνωτής [ΔQ/Δt = − Q/RC]
Σε όλες αυτές τις περιπτώσεις παρατηρείται μια όλο και ταχύτερη μεταβολή στην αντίστοιχη ποσότητα.
Αν, για παράδειγμα, ο ρυθμός μεταβολής της ταχύτητας (η επιτάχυνση) ενός σώματος είναι σταθερός, τότε η ταχύτητα αυξάνει γραμμικά με το χρόνο.
Εάν όμως η επιτάχυνση είναι ανάλογη με την ταχύτητα, η ταχύτητα αυξάνει όλο και πιο απότομα (εκθετικά).
Η ίδια εξάρτηση ισχύει και στην περίπτωσή μας για τη μεταβολή της τάσης του σκοινιού. (Εξακολουθούμε να πραγματευόμαστε εδώ την ελάχιστη δυνατή διαφορά μεταξύ των τάσεων στα άκρα του σκοινιού – όταν το σκοινί μόλις και αρχίζει να γλιστρά πάνω στο υποστήριγμα.)
Το πρόβλημα αυτό το μελέτησε πρώτος ο μεγάλος μαθηματικός, φυσικός, μηχανικός, και αστρονόμος Leonhard Euler (1707 -1783). Απέδειξε ότι η τάση Τ μεταβάλλεται σύμφωνα με τον ακόλουθο νόμο:

Τ = Τ₀ e^{−μ α}

όπου e=2,71828…, η βάση των φυσικών λογαρίθμων, και Τ₀ η αρχική τάση του σκοινιού (το οποίο δεν έχει ακόμη τυλιχτεί γύρω από το υποστήριγμα).
Η γωνία α (μετρούμενη σε ακτίνια) συνδέεται με το πλήθος των στροφών n του σκοινιού γύρω από την μπίντα μέσω μιας απλής σχέσης

α = 2 π n

Έτσι, αν η τάση του σκοινιού μειώνεται κατά έναν παράγοντα k έπειτα από μια στροφή, δηλαδή

Τ₁/ Τ₀ = e^{−2 π μ} = 1/k

έπειτα από n στροφές μειώνεται κατά έναν παράγοντα kⁿ

Τ_n/ Τ₀ = (Τ₁/ Τ₀ ) • (Τ₂/ Τ₁ ) • • • (Τ_n/ Τ_n−1)= 1/kⁿ

Για συντελεστή τριβής μ=0,3, για παράδειγμα, μια στροφή του σκοινιού γύρω από την μπίντα μειώνεται κατά παράγοντα 6,6. Εάν τυλιχτεί ακόμη δυο φορές, η τάση μειώνεται κατά παράγοντα 43. Καθώς το πλήθος των στροφών αυξάνεται, η τάση του σχοινιού (χάρη στην τριβή) γίνεται όλο και μικρότερη, και βαθμιαία τείνει στο μηδέν.
Επιστρέφοντας στον Matifou, τον ήρωα του Ιουλίου Βερν, μπορούμε πλέον να πούμε ότι τυλίγοντας το σκοινί στον σιδερένιο στύλο έκανε το έργο του πολύ ευκολότερο. Αν, για παράδειγμα, είχε καταφέρει να τυλίξει το σκοινί γύρω από την μπίντα τρεις φορές, ακόμα κι ένα παιδί θα μπορούσε να συγκρατήσει το σκάφος όσο κι αυτός.
Το ίδιο ισχύει και για τους ναύτες. Δεν χρειάζονται απίστευτη δύναμη.
Απλώς πρέπει να είναι προσεκτικοί και γρήγοροι καθώς θα τυλίγουν το σκοινί γύρω από την μπίντα.
Είναι σχεδόν περιττό να υπογραμμίσω ότι ο καθένας σας συναντά αυτό το φαινόμενο πρακτικά κάθε μέρα, οποτεδήποτε δένετε κάτι – τα κορδόνια των παπουτσιών, ένα κασκόλ, μια παλιά χορδή.
Ένας κόμπος δεν είναι τίποτε άλλο από ένα σκοινί τυλιγμένο γύρω από ένα «υποστήριγμα» (το σκοινί το ίδιο)!

Πηγή: περιοδικό Quantum Μάρτιος/Απρίλιος 1997 – Το πρώτο μέρος άρθρου του Alexander Buzdin (ή Alexandre Bouzdine) με τίτλο «Δυο καθημερινά φαινόμενα ζητούν ερμηνεία»


http://physicsgg.me/2014/07/30/%CF%80%CF%8E%CF%82-%CE%BD%CE%B1-%CF%83%CF%85%CE%B3%CE%BA%CF%81%CE%B1%CF%84%CE%AE%CF%83%CE%B5%CF%84%CE%B5-%CE%BC%CF%8C%CE%BD%CE%BF%CE%B9-%CF%83%CE%B1%CF%82-%CE%BF%CE%BB%CF%8C%CE%BA%CE%BB%CE%B7%CF%81/