Το παράδοξο των Banach – Tarski

Πολλά παράδοξα εμφανίζονται όταν έχουμε να κάνουμε με άπειρα σύνολα. Για παράδειγμα το παράδοξο με το ξενοδοχείο των άπειρων δωματίων.



Ένας ταξιδιώτης φτάνει στην ρεσεψιόν του ξενοδοχείου αυτού και ζητάει δωμάτιο για μια νύχτα. Ο υπάλληλος της ρεσεψιόν του λέει πως όλα τα δωμάτια είναι κατειλημμένα. Εκεί επεμβαίνει ο διευθυντής του ξενοδοχείου και δίνει την εξής λύση: θα μεταφέρουμε τον ένοικο του δωματίου 1 στο δωμάτιο 2, τον ένοικο του 2 στο 3, του 3 στο 4 κ.ο.κ. μέχρι το άπειρο. Έτσι ο νέος πελάτης θα πάρει το δωμάτιο 1.

Την επόμενη μέρα ο ταξιδιώτης αναχωρεί και το δωμάτιο 1 αδειάζει. Τότε ο διευθυντής του ξενοδοχείου που θέλει το ξενοδοχείο του να έχει πληρότητα 100%, δίνει εντολή στον υπάλληλο να μεταφέρει το ένοικο του δωματίου 2 στο δωμάτιο 1, τον ένοικο του 3 στο 2, του 4 στο 3 κ.ο.κ. μέχρι το άπειρο, αποκαθιστώντας έτσι την πληρότητα του ξενοδοχείου!

Το παράδοξο του ξενοδοχείου απείρων δωματίων μπορεί να εφαρμοστεί στα σημεία ενός κύκλου. Θεωρούμε τα άπειρα σημεία του κύκλου σαν τους ενοίκους του ξενοδοχείου με τα άπειρα δωμάτια. Στη συνέχεια αφαιρούμε ένα σημείο από τον κύκλο. Θα δούμε πως αυτό δεν έχει καμία σημασία. Αν αρχίσουμε να αριθμούμε τα σημεία του κύκλου (1, 2, 3, 4, …) ξεκινώντας με συγκεκριμένη φορά από την οπή, ανά μήκος τόξου ίσο με την ακτίνα του κύκλου, θα καλύψουμε όλα τα σημεία του κύκλου – χωρίς να πέσουμε ποτέ δυο φορές στο ίδιο σημείο του κύκλου.



Αν τώρα μεταθέσουμε κατά μία θέση όλα τα σημεία προς την αντίθετη φορά, όπως με το ξενοδοχείο, τότε θα καλύψουμε την οπή που δημιουργήσαμε στην αρχή αφαιρώντας ένα σημείο!
Αυτά και άλλα παράδοξα αναφέρονται στο βίντεο που ακολουθεί μέχρι να μας εισάγει σε ένα παράδοξο που δύσκολα χωνεύεται.




Eίναι δυνατόν να αποσυνθέσουμε μια σφαιρική επιφάνεια σε έναν πεπερασμένο αριθμό σημειοσυνόλων και στη συνέχεια, ανακατανέμοντας κατάλληλα αυτά τα σημειοσύναολα, να κατασκευάσουμε δυο πανομοιότυπες σφαιρικές επιφάνειες με την αρχική; Τα μαθηματικά απαντούν καταφατικά.

Πρόκειται για το παράδοξο των Banach-Tarski, ένα θεώρημα των καθαρών μαθηματικών που διατυπώθηκε από τους μαθηματικούς Stefan Banach και Alfred Tarski. Σύμφωνα με το θεώρημα αυτό μπορούμε να διαμερίσουμε οποιαδήποτε τρισδιάστατη μπάλα σε ένα πεπερασμένο πλήθος κομματιών και στη συνέχεια … αναδιατάσσοντας τα κομμάτια με κατάλληλο τρόπο να σχηματίσουμε δύο μπάλες πανομοιότυπες με την αρχική!



https://physicsgg.me/2017/12/16/%cf%84%ce%bf-%cf%80%ce%b1%cf%81%ce%ac%ce%b4%ce%bf%ce%be%ce%bf-%cf%84%cf%89%ce%bd-banach-tarski/